Matemática A 12.º Ano: Inequação com Função Definida por Ramos (Exame 2015)

Seja f a função, de domínio R, definida por f(x) =

1 + xex	se x ≤ 3
ln(x - 3) - ln(x)	se x > 3

Resolva os itens 3.
1.
, 3.
2.
e 3.
3.
, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Resolva, em ]-∞, 3], a condição f(x) - 2x ≥ 1 Apresente o conjunto solução, usando a notação de intervalos de números reais.

3.2. 15 pontos
Escrever f(x)−2x ≥ 1 ⇔ 1+ xe^x - 2x ≥ 1 (1 ponto)
Escrever 1 + xe^x - 2x ≥ 1 ⇔ xe^x - 2x ≥ 0 (1 ponto)
Escrever xe^x - 2x ≥ 0 ⇔ x(e^x – 2) ≥ 0 (ver nota 1) (3 pontos)
Apresentar um quadro de sinais (ou equivalente) (ver notas 2 e 3) (6 pontos)
Apresentar o conjunto solução (]-∞, 0] ∪ [ln 2, 3]) (ver notas 4 e 5) (4 pontos)
Notas:
1. Se a resposta apresentar xe^x > 2x ⇔ e^x > 2, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos.
2. A apresentação de um quadro de sinais com x∈]-∞, +∞[ não implica qualquer desvalorização nesta etapa.
3. Se a resposta apresentar apenas a resolução da inequação e^x>2, a pontuação máxima a atribuir nesta etapa é de 2 pontos.
4. Se não for considerada a condição x∈]-∞,3], a pontuação a atribuir nesta etapa deve ser desvalorizada em 2 pontos.
5. Se o conjunto solução apresentado resultar da resolução da inequação e^x > 2, em vez de resultar da resolução da inequação x(e^x – 2) ≥ 0, a pontuação máxima a atribuir nesta etapa é de 2 pontos.