Números Complexos: Determinação de ρ e θ (Matemática A 12º Ano 2016)

Seja ρ um número real positivo, e seja θ um número real pertencente ao intervalo ]0, π[.
Em C, conjunto dos números complexos, considere z = (-1+i)/(ρ cis θ)² e w = -√2 i.
Sabe-se que z = w.
Determine o valor de ρ e o valor de θ.

2. ......................................................................................................................................................... 15 pontos Este item pode ser resolvido por, pelo menos, cinco processos. 1.º Processo Escrever -1+i na forma trigonométrica ................................................................. 1 ponto Escrever (ρcisθ)² = ρ² cis(2θ) ............................................................................ 2 pontos Indicar o módulo de z, em função de ρ ................................................................. 1 ponto Escrever um argumento de z, em função de θ ...................................................... 2 pontos Escrever -√2i na forma trigonométrica ............................................................... 1 ponto Concluir que (√2/ρ²) = √2 Λ (3π/4) - 2θ = 3π/2 + 2kπ, k∈Z (ou equivalente) ......................................................................................................................... 2 pontos Obter o valor de ρ (1) .......................................................................................... 1 ponto Resolver a condição 3π/4 – 2θ = 3π/2 + 2kπ, k∈Z (ou uma condição equivalente), em ordem a θ ........................................................................................... 2 pontos Obter o valor de θ pertencente ao intervalo ]0, π[ (5π/8) ...................................... 3 pontos 2.º Processo Escrever (ρcisθ)² na forma algébrica .................................................................. 3 pontos Escrever z na forma algébrica ............................................................................... 4 pontos Escrever a condição sen(2θ) – cos (2θ) / ρ² = 0 Λ cos (2θ) + sen(2θ) / ρ² = -√2 ..................................................................................................................... 1 ponto Escrever a condição 2θ = π/4 + kπ Λ cos (2θ) + sen(2θ) / ρ² = -√2 , com k ∈ Z e θ ∈ ]0, π[ .............................................................................................. 2 pontos Escrever a condição (θ = 5π/8 v θ = 9π/8) Λ cos (2θ) + sen(2θ) / ρ² = -√2 ..................................................................................................................... 2 pontos Obter o valor de θ e o valor de ρ (θ = 5π/8 e ρ = 1) ........................................... 3 pontos 3.º Processo Escrever -1+i na forma trigonométrica ................................................................. 1 ponto Escrever (ρcisθ)² = ρ²cis(2θ) ............................................................................ 2 pontos Indicar o módulo de z, em função de ρ ................................................................. 1 ponto Escrever um argumento de z, em função de θ ...................................................... 2 pontos Escrever z na forma algébrica ............................................................................... 1 ponto Escrever a condição √2/ρ² cos(3π/4 - 2θ) = 0 Λ √2/ρ² sen(3π/4 - 2θ) = -√2 ..................................................................................................................... 1 ponto Escrever a condição 3π/4 - 2θ = π/2 + kπ Λ √2/ρ² sen(3π/4 - 2θ) = -√2, com k∈Z e θ∈ ]0, π[ ........................................................................................... 2 pontos Escrever a condição (θ = 5π/8 v θ = 9π/8) Λ √2/ρ² sen(3π/4 - 2θ) = -√2 ..................................................................................................................... 2 pontos Obter o valor de θ e o valor de ρ (θ = 5π/8 e ρ = 1) ........................................... 3 pontos 4.º Processo Escrever z=w⇔ −1 + i / -√2i = (ρ cisθ)² .............................................................. 1 ponto Escrever (ρcisθ)² = ρ²cis(2θ) ............................................................................ 2 pontos Escrever −1 + i / -√2i = −√2 − √2i / 2 ................................................................ 3 pontos Escrever z = w ⇔ −√2 − √2i / 2 = ρ² cos (2θ) + iρ²sen(2θ) ............................ 1 ponto Escrever z = w ⇔ ρ² cos (2θ) = −√2/2 Λ ρ²sen(2θ) = −√2/2 .......................... 1 ponto Concluir que z = w ⇔ cos (2θ) = sen(2θ) Λ ρ²sen(2θ) = −√2/2 ....................... 1 ponto Escrever a condição 2θ = 5π/4 + kπ Λ ρ²sen(2θ) = −√2/2 , com k∈Z e θ∈ ]0, π[ ........................................................................................... 1 ponto Escrever a condição (θ = 5π/8 v θ = 9π/8) Λ ρ²sen(2θ) = −√2/2 ..................................................................................................................... 2 pontos Obter o valor de θ e o valor de ρ (θ = 5π/8 e ρ = 1) ........................................... 3 pontos 5.º Processo Escrever z = w ⇔ −1 + i / -√2i = (ρ cisθ)² .............................................................. 1 ponto Escrever -1+i na forma trigonométrica ................................................................. 1 ponto Escrever -√2i na forma trigonométrica ............................................................... 1 ponto Escrever −1 + i / -√2i na forma trigonométrica ................................................. 1 ponto Escrever (ρcisθ)² = ρ²cis(2θ) ............................................................................ 2 pontos Escrever cis(5π/4) = ρ²cis(2θ) .......................................................................... 1 ponto Concluir que z = w ⇔ ρ² = 1 Λ 2θ = 5π/4 + 2kπ, k∈Z (ou equivalente) ......................................................................................................................... 2 pontos Obter o valor de ρ (1) .......................................................................................... 1 ponto Resolver a condição 2θ = 5π/4 + 2kπ, k∈Z (ou uma condição equivalente), em ordem a θ .......................................................................................................... 2 pontos Obter o valor de θ pertencente ao intervalo ]0, π[ (5π/8) ...................................... 3 pontos