Geometria Analítica: Ângulo Agudo com Produto Escalar (Matemática A 12º Ano 2016)

Considere, num referencial o.
n.
Oxyz, o plano α definido pela equação 3x + 2y + 4z − 12 = 0
Sejam A e B os pontos pertencentes ao plano α, tais que A pertence ao semieixo positivo Ox e B pertence ao semieixo positivo Oy.
Seja P um ponto com cota diferente de zero e que pertence ao eixo Oz.
Justifique, recorrendo ao produto escalar de vetores, que o ângulo APB é agudo.

3.3. ......................................................................................................................................................... 10 pontos Seja z a cota do ponto P Escrever P(0, 0, z) (ver nota) ............................................................................... 2 pontos Determinar as coordenadas do ponto A ................................................................. 1 ponto Determinar as coordenadas do ponto B ................................................................. 1 ponto Determinar as coordenadas do vetor PA, em função de z (ver nota) ..................... 1 ponto Determinar as coordenadas do vetor PB, em função de z (ver nota) ..................... 1 ponto Calcular PA . PB (z²) (ver nota) .......................................................................... 1 ponto Concluir o pretendido (referir que a conclusão resulta do facto de o produto escalar ser positivo) (ver nota) ..................................................................................................... 3 pontos Nota — Se for apresentada uma concretização para a cota do ponto P, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos.