Matemática A 12º Ano 2016: Monotonia e Extremos de Função Definida por Ramos (Exame 2ª Fase)

Seja f a função, de domínio ]-π/2, +∞[, definida por f(x) = { (2 + sen x)/cos x, se -π/2 < x ≤ 0; x - ln x, se x > 0.
Resolva os itens 4.
1.
e 4.
2.
recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, no intervalo ]-π/2, 0].

4.2. ......................................................................................................................................................... 15 pontos Determinar f'(x) em ]-π/2, 0] (ver nota 1) ............................................................ 4 pontos Determinar o zero de f' em ]-π/2, 0] ................................................................... 5 pontos Escrever f'(x)= 0 ................................................................................................ 1 ponto Obter o zero de f' em ]-π/2, 0] (-π/6) ................................................................ 4 pontos Estudar a função f quanto à monotonia, no intervalo ]-π/2, 0] ........................... 6 pontos Apresentar um quadro de sinal de f' e de monotonia de f (ou equivalente) (ver notas 2 e 3) ................................................................................. 5 pontos Concluir que a função tem um mínimo para x = -π/6 ............................................ 1 ponto Notas: 1. Se for evidente a intenção de determinar a expressão da derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é 1 ponto. 2. Se, na primeira linha do quadro, a resposta apresentar -∞, em vez de -π/2 , a pontuação a atribuir nesta etapa é desvalorizada em 1 ponto. 3. Se, na primeira linha do quadro, a resposta apresentar +∞, em vez de 0, a pontuação a atribuir nesta etapa é desvalorizada em 2 pontos. 4. Se for utilizada a expressão x - ln x, a pontuação máxima a atribuir à resposta é 2 pontos (1 ponto pela intenção de calcular f'(x) e 1 ponto pela intenção de resolver a equação f'(x) = 0).