Matemática A 12.º Ano: Juros e Amortização de Empréstimos (Exame 2016, 2.ª Fase)

O José e o António são estudantes de Economia.
O José pediu emprestados 600 euros ao António para comprar um computador, tendo-se comprometido a pagar o empréstimo em prestações mensais sujeitas a um certo juro.
Para encontrarem as condições de pagamento do empréstimo, os dois colegas adaptaram uma fórmula que tinham estudado e estabeleceram um contrato.
Nesse contrato, a prestação mensal p, em euros, que o José tem de pagar ao António é dada por p = (600x)/(1-e^(-nx)) (x > 0), em que n é o número de meses em que o empréstimo será pago e x é a taxa de juro mensal.
Resolva os itens 5.
1.
e 5.
2.
recorrendo a métodos analíticos.
Na resolução do item 5.
1.
, pode utilizar a calculadora para efetuar eventuais cálculos numéricos.
O José e o António acordaram que a taxa de juro mensal seria 0,3% (x = 0,003).
Em quantos meses será pago o empréstimo, sabendo-se que o José irá pagar uma prestação mensal de 24 euros? Apresente o resultado arredondado às unidades.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.

5.1. ......................................................................................................................................................... 15 pontos Equacionar o problema ......................................................................................... 3 pontos Resolver a equação 24 = 600 × 0,003 / (1 − e^(-0,003n)) .................................. 10 pontos Escrever 24 = 600 × 0,003 / (1 − e^(-0,003n)) ⇔ 24(1 − e^(-0,003n)) = 1,8 .......................... 2 pontos Escrever 24(1- e^(-0,003n)) = 1,8 ⇔ 1 − e^(-0,003n) = 1,8/24 ................................... 2 pontos Escrever 1 − e^(-0,003n) = 1,8/24 ⇔ e^(-0,003n) = 37/40 ........................................ 2 pontos Escrever e^(-0,003n) = 37/40 ⇔ −0,003 n = ln (37/40) ........................................ 3 pontos Escrever −0,003 n = ln (37/40) ⇔ n = ln(37/40) / -0,003 ........................................ 1 ponto Responder ao problema (26 meses) (ver nota) ................................................. 2 pontos Nota — Se a resposta for n≈ 26, esta etapa é considerada como cumprida.