Limite Notável e Juros: Matemática A 12.º Ano Exame 2016

O José e o António são estudantes de Economia.
O José pediu emprestados 600 euros ao António para comprar um computador, tendo-se comprometido a pagar o empréstimo em prestações mensais sujeitas a um certo juro.
Para encontrarem as condições de pagamento do empréstimo, os dois colegas adaptaram uma fórmula que tinham estudado e estabeleceram um contrato.
Nesse contrato, a prestação mensal p, em euros, que o José tem de pagar ao António é dada por p = (600x)/(1-e^(-nx)) (x > 0), em que n é o número de meses em que o empréstimo será pago e x é a taxa de juro mensal.
Resolva os itens 5.
1.
e 5.
2.
recorrendo a métodos analíticos.
Na resolução do item 5.
1.
, pode utilizar a calculadora para efetuar eventuais cálculos numéricos.
Determine lim x->0 (600x)/(1-e^(-nx)), em função de n, e interprete o resultado no contexto da situação descrita.

5.2. ......................................................................................................................................................... 15 pontos Determinar lim x→0 600x / (1 − e^(-nx)) ............................................................. 10 pontos Este limite pode ser determinado por, pelo menos, três processos. 1.º Processo Escrever lim x→0 600x / (1 − e^(-nx)) = lim y=−nx y→0 600(−y/n) / (1 − e^y) ......................................... 2 pontos Escrever lim y→0 600(−y/n) / (1 − e^y) = lim y→0 −600y / n(1 − e^y) ..................................... 1 ponto Escrever lim y→0 −600y / n(1 − e^y) = 600/n lim y→0 −y / (1 − e^y) ....................................... 1 ponto Escrever 600/n lim y→0 −y / (1 − e^y) = 600/n lim y→0 y / (e^y − 1) ...................................... 2 pontos Escrever 600/n lim y→0 y / (e^y − 1) = 600/n (1 / lim y→0 (e^y − 1)/y) ..................................... 2 pontos Reconhecer o limite notável lim x→0 (e^x − 1)/x = 1 ................................................. 1 ponto Obter o valor de lim x→0 600x / (1 − e^(-nx)) (600/n) ............................................. 1 ponto 2.º Processo Escrever lim x→0 600x / (1 − e^(-nx)) = lim x→0 600x / (1 − 1/e^(nx)) .................................... 2 pontos Escrever lim x→0 600x / (1 − 1/e^(nx)) = lim x→0 600x / ((e^(nx) − 1)/e^(nx)) ....................... 1 ponto Escrever lim x→0 600x / ((e^(nx) − 1)/e^(nx)) = lim y=nx y→0 600(y/n) / (e^y − 1 / e^y) .................... 2 pontos Escrever lim y→0 600(y/n) / (e^y − 1 / e^y) = 600/n lim y→0 e^y y / (e^y − 1) ............................ 2 pontos Reconhecer o limite notável lim x→0 (e^x − 1)/x = 1 ................................................. 1 ponto 3.º Processo Escrever lim x→0 600x / (1 − e^(-nx)) = lim x→0 600 / ((1 − e^(-nx))/x) ............................ 2 pontos Escrever lim x→0 600 / ((1 − e^(-nx))/x) = lim x→0 600 / (n (1 − e^(-nx))/nx) ...................... 1 ponto Escrever lim x→0 600 / (n (1 − e^(-nx))/nx) = lim x→0 600 / (n (e^(-nx) − 1)/(-nx)) ............ 2 pontos Escrever lim x→0 600 / (n (e^(-nx) − 1)/(-nx)) = lim y=−nx y→0 600 / (n (e^y − 1)/y) ................... 2 pontos Reconhecer o limite notável lim x→0 (e^x − 1)/x = 1 ................................................. 1 ponto Obter o valor de lim x→0 600x / (1 − e^(-nx)) (600/n) ............................................. 2 pontos Interpretar o resultado no contexto da situação descrita (Quando a taxa de juro tende para zero, a prestação mensal tende para o quociente entre o valor do empréstimo e o número de prestações mensais) ............................................... 5 pontos