Exame Matemática A 12.º Ano 2016 (2.ª F) - Teorema de Bolzano (Funções Contínuas)

Seja g uma função contínua, de domínio R, tal que:

• para todo o número real x, (g o g)(x)=x
• para um certo número real a, tem-se g(a)>a +1.
Mostre que a equação g(x) = x + 1 é possível no intervalo ]a, g(a)[.

6. ......................................................................................................................................................... 10 pontos Referir que, em [a, g(a)], a função h, definida por h(x) = g(x) − x − 1, é contínua (ver notas 1 e 2) .................................................................................. 1 ponto Determinar h(a) ................................................................................................... 1 ponto Determinar h(g(a)) ............................................................................................... 2 pontos Referir que h(a) > 0 ............................................................................................. 1 ponto Justificar que h(g(a)) < 0 (ver nota 3) ................................................................. 3 pontos Evocar o teorema de Bolzano para concluir que a função h tem pelo menos um zero em ]a, g(a)[ ............................................................................................ 1 ponto Concluir o pretendido ........................................................................................... 1 ponto Notas: 1. Se apenas for referido que a função h é contínua, esta etapa é considerada como cumprida. 2. Se for referido que a função h é contínua em ]a, g(a)[ , a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos. 3. Se apenas for referido que h(g(a)) < 0, sem qualquer justificação, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos.