Probabilidade em Geometria Espacial: Exame de Matemática A 12.º Ano 2017

Na Figura 2, está representado, num referencial o.
n.
Oxyz, o prisma quadrangular regular [OPQRSTUV].
Sabe-se que:

• a face [OPQR] está contida no plano xOy
• o vértice Q pertence ao eixo Oy e o vértice T pertence ao eixo Oz
• o plano STU tem equação z = 3
Escolhem-se, ao acaso, três vértices do prisma.
Determine a probabilidade de o plano definido por esses três vértices ser perpendicular ao plano xOy.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo: Apresentar o número de casos possíveis: ⁸C₃ (ver nota 1) (6 pontos). Apresentar o número de casos favoráveis: 6 × ⁴C₃ (ver nota 2) (8 pontos). Obter a probabilidade pedida (3/7) (ver nota 4) (1 ponto). 2.º Processo: Apresentar o número de casos possíveis: ⁸A₃ (ver nota 1) (6 pontos). Apresentar o número de casos favoráveis: 6 × ⁴A₃ (ver nota 3) (8 pontos). Obter a probabilidade pedida (3/7) (ver nota 4) (1 ponto). Notas: 1. Se a expressão apresentada não for equivalente a ⁸C₃ (1.º processo de resolução) ou a ⁸A₃ (2.º processo de resolução), a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos. 2. Se a expressão apresentada for ⁴C₃, a pontuação a atribuir nesta etapa é 1 ponto. Caso a expressão apresentada seja do tipo k⁴C₃, com k ∈ {2, 3, 4, 5}, a pontuação a atribuir nesta etapa é 3 pontos. Caso a expressão apresentada seja incorreta e diferente das expressões referidas, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos. 3. Se a expressão apresentada for ⁴A₃, a pontuação a atribuir nesta etapa é 1 ponto. Caso a expressão apresentada seja do tipo k⁴A₃, com k ∈ {2, 3, 4, 5}, a pontuação a atribuir nesta etapa é 3 pontos. Caso a expressão apresentada seja incorreta e diferente das expressões referidas, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos. 4. Se as etapas relativas ao número de casos possíveis e ao número de casos favoráveis tiverem sido pontuadas com 0 pontos, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos. Caso o valor obtido não pertença ao intervalo [0, 1], a pontuação a atribuir nesta etapa também é 0 pontos.