Exame Matemática A 12.º Ano 2017 (1.ª Fase) - Função Exponencial e Geometria

Na Figura 3, está representada uma secção de uma ponte pedonal que liga as duas margens de um rio.
A ponte, representada pelo arco PQ, está suportada por duas paredes, representadas pelos segmentos de reta [OP] e [RQ].
A distância entre as duas paredes é 7 metros.
O segmento de reta [OR] representa a superfície da água do rio.
Considere a reta OR como um eixo orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto O e em que uma unidade corresponde a 1 metro.
Para cada ponto situado entre O e R, de abcissa x, a distância na vertical, medida em metros, desse ponto ao arco PQ é dada por f(x) = 9 – 2,5(e^(1–0,2x) + e^(0,2x−1)), com x ∈ [0, 7].
Resolva os itens 4.
1.
e 4.
2.
recorrendo a métodos analíticos; utilize a calculadora apenas para efetuar eventuais cálculos numéricos.
Seja S o ponto pertencente ao segmento de reta [OR] cuja abcissa x verifica a equação √(f(0))^2 + x^2 = 2.
Resolva esta equação, apresentando a solução arredondada às décimas, e interprete essa solução no contexto da situação descrita.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Escrever √(f(0))² + x² = 2 ⇔ (f(0))² + x² = 4 (3 pontos). Determinar f(0) (2 pontos). Obter a solução da equação, arredondada às décimas (1,5) (5 pontos). Interpretar a solução no contexto da situação descrita (Na secção representada, 1,5 é a abcissa do ponto da superfície da água do rio que dista dois metros do ponto P). (5 pontos)