Análise de Funcionalidade de Ponte (Matemática A 12º Ano 2017 - 1ª Fase)

Na Figura 3, está representada uma secção de uma ponte pedonal que liga as duas margens de um rio.
A ponte, representada pelo arco PQ, está suportada por duas paredes, representadas pelos segmentos de reta [OP] e [RQ].
A distância entre as duas paredes é 7 metros.
O segmento de reta [OR] representa a superfície da água do rio.
Considere a reta OR como um eixo orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto O e em que uma unidade corresponde a 1 metro.
Para cada ponto situado entre O e R, de abcissa x, a distância na vertical, medida em metros, desse ponto ao arco PQ é dada por f(x) = 9 – 2,5(e^(1–0,2x) + e^(0,2x−1)), com x ∈ [0, 7].
Resolva os itens 4.
1.
e 4.
2.
recorrendo a métodos analíticos; utilize a calculadora apenas para efetuar eventuais cálculos numéricos.
O clube náutico de uma povoação situada numa das margens do rio possui um barco à vela.
Admita que, sempre que esse barco navega no rio, a distância do ponto mais alto do mastro à superfície da água é 6 metros.
Será que esse barco, navegando no rio, pode passar por baixo da ponte? Justifique a sua resposta.

Determinar f'(x) (ver nota) (4 pontos). Determinar o zero de f' (4 pontos). Escrever f'(x) = 0 (1 ponto). Obter o zero de f' (3 pontos). Justificar que a função f atinge um máximo para x = 5 (3 pontos). Apresentar um quadro de sinal de f' e de monotonia de f (ou equivalente) (2 pontos). Concluir que a função tem um máximo para x = 5 (1 ponto). Determinar f(5) (4) (2 pontos). Responder à questão (Não, o barco não pode passar por baixo da ponte.) (2 pontos). Nota – Se for evidente a intenção de determinar a derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é 1 ponto.