Continuidade de Função Definida por Ramos | Matemática A 12º Ano 2017

Seja g a função, de domínio R, definida por g(x) = { (1-x^2)/(1-e^(x-1)) se x < 1 ; 2 se x = 1 ; 3 + sen(x-1)/(1-x) se x > 1.
Resolva os itens 5.
1.
e 5.
2.
recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a função g quanto à continuidade no ponto 1.

Determinar lim x→1⁻ g(x) (8 pontos): Escrever lim x→1⁻ g(x) = lim x→1⁻ (1-x²)/(1-e^(x-1)) (1 ponto). Escrever lim x→1⁻ (1-x²)/(1-e^(x-1)) = lim x→1⁻ ((1+x)(1-x))/(1-e^(x-1)) (1 ponto). Escrever lim x→1⁻ ((1+x)(1-x))/(1-e^(x-1)) = lim x→1⁻ (1+x) × lim x→1⁻ (1-x)/(1-e^(x-1)) (1 ponto). Escrever lim x→1⁻ (1+x) × lim x→1⁻ (1-x)/(1-e^(x-1)) = 2 × lim x→1⁻ (1-x)/(1-e^(x-1)) (1 ponto). Escrever 2 × lim x→1⁻ (1-x)/(1-e^(x-1)) = 2 × lim x→1⁻ (x-1)/(e^(x-1)-1) (1 ponto). Escrever 2 × lim x→1⁻ (x-1)/(e^(x-1)-1) = 2 × lim y→0⁻ y/(e^y - 1) (1 ponto) [com y=x-1]. Escrever 2 × lim y→0⁻ y/(e^y - 1) = 2 × lim y→0⁻ 1/((e^y - 1)/y) (1 ponto). Obter lim x→1⁻ g(x) = 2 (1 ponto). Determinar lim x→1⁺ g(x) (5 pontos): Escrever lim x→1⁺ g(x) = lim x→1⁺ (3 + sen(x-1)/(1-x)) (1 ponto). Escrever lim x→1⁺ (3 + sen(x-1)/(1-x)) = 3 - lim x→1⁺ sen(x-1)/(x-1) (1 ponto). Escrever 3 - lim x→1⁺ sen(x-1)/(x-1) = 3 - lim y→0⁺ sen y/y (2 pontos) [com y=x-1]. Obter lim x→1⁺ g(x) = 2 (1 ponto). Referir que g(1) = 2 (1 ponto). Concluir que a função g é contínua no ponto 1 (1 ponto).