Interseção de Reta e Plano em 3D - Matemática A 12º Ano (Exame 2017)

Na Figura 3, está representado, num referencial o.
n.
Oxyz, o cubo [ABCDEFGH].
Sabe-se que:

• a face [ABCD] está contida no plano xOy
• a aresta [CD] está contida no eixo Oy
• o ponto D tem coordenadas (0, 4, 0)
• o plano ACG é definido pela equação x + y - z - 6 = 0.
Seja r a reta definida pela condição x − 1 = 1 − y = z.
Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano ACG.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo (recorrendo à condição $x−1=1 − y = z$) Escrever o sistema $\begin{cases} x-1=1-y \ 1-y=z \ x+y-z-6= 0 \end{cases}$ (ou equivalente) (4 pontos) Obter as coordenadas do ponto de intersecção $((-3, 5, -4))$ (6 pontos) 2.º Processo (recorrendo a uma equação vetorial da reta $r$) Indicar um vetor diretor da reta $r$ (2 pontos) Indicar as coordenadas de um ponto da reta $r$ (1 ponto) Escrever uma equação vetorial da reta $r$ (por exemplo, $(x, y, z) = (1, 1, 0) + k(1, -1, 1), k\in\mathbb{R}$) (2 pontos) Escrever as coordenadas de um ponto genérico da reta $r$, em função de $k$ (2 pontos) Obter uma equação na variável $k$, substituindo $x$, $y$ e $z$, na equação do plano $ACG$, pelas coordenadas de um ponto genérico da reta $r$ (1 ponto) Obter o valor de $k$ (1 ponto) Obter as coordenadas do ponto de intersecção da reta $r$ com o plano $ACG$ $((-3, 5, -4))$ (1 ponto)