Geometria Analítica: Ângulo OGP em Cubo - Matemática A 12º Ano (2017, 2ª Fase)

Na Figura 3, está representado, num referencial o.
n.
Oxyz, o cubo [ABCDEFGH].
Sabe-se que:

• a face [ABCD] está contida no plano xOy
• a aresta [CD] está contida no eixo Oy
• o ponto D tem coordenadas (0, 4, 0)
• o plano ACG é definido pela equação x + y - z - 6 = 0.
Seja P o vértice de uma pirâmide regular de base [EFGH].
Sabe-se que:

• a cota do ponto P é superior a 2
• o volume da pirâmide é 4.
Determine a amplitude do ângulo OGP.
Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Determinar a altura da pirâmide (2 pontos) Escrever as coordenadas do ponto $P$ (2 pontos) Escrever as coordenadas do ponto $G$ (1 ponto) Determinar as coordenadas do vetor $\vec{GO}$ (1 ponto) Determinar as coordenadas do vetor $\vec{GP}$ (1 ponto) Calcular $\vec{GO} \cdot \vec{GP}$ (2 pontos) Determinar a norma do vetor $\vec{GO}$ (1 ponto) Determinar a norma do vetor $\vec{GP}$ (1 ponto) Escrever a equação $2 = \sqrt{44} \times \sqrt{11} \times \cos (\angle OGP)$ (ou equivalente) (2 pontos) Obter a amplitude do ângulo $OGP$ ($85^\circ$) (2 pontos)