Estudo de Assíntotas de f(x) = (ln x)/x | Matemática A 12º Ano 2017

Considere a função f, de domínio R⁺, definida por f(x) = (ln x)/x.
Resolva os itens 4.
1.
, 4.
2.
e 4.
3.
recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados.

Justificar que apenas a reta de equação $x = 0$ pode ser assíntota vertical do gráfico da função $f$ (1 ponto) Determinar $\lim_{x\to0^+} f(x)$ (7 pontos) Escrever $\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} \frac{\ln x}{x}$ (1 ponto) Escrever $\lim_{x\to0^+} \frac{\ln x}{x} = \frac{-\infty}{0^+}$ (3 pontos) Escrever $\lim_{x\to0^+} f(x) = -\infty$ (3 pontos) Concluir que a reta de equação $x = 0$ é assíntota vertical do gráfico de $f$ (2 pontos) Determinar $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ (3 pontos) Escrever $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}$ (1 ponto) Escrever $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$ (2 pontos) Concluir que a reta de equação $y = 0$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$ (2 pontos) Nota – Se for evidente a intenção de determinar $\lim_{x\to0^-} f(x)$ ou $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, a classificação a atribuir à resposta é desvalorizada em 2 pontos. Se, por aplicação deste critério, o valor obtido for negativo, a resposta é classificada com 0 pontos.