Assíntotas Horizontais - Matemática A 12º Ano (Exame 2018, 2ª Fase)

Seja f a função, de domínio R, definida por f(x) = { 3 + eˣ/(1-x) se x < 1; (ln(x²) + 2)/x se x ≥ 1 }.
Estude a função f quanto à existência de assíntotas horizontais do seu gráfico.

14.2. Determinar lim (x→−∞) f(x) ... 5 pontos Escrever lim (x→−∞) f(x) = lim (x→−∞) (3 + eˣ/(1-x)) ... 1 ponto Escrever lim (x→−∞) (3 + eˣ/(1-x)) = 3 + lim (x→−∞) eˣ/(1-x) ... 1 ponto Obter lim (x→−∞) eˣ/(1-x) = 0 ... 2 pontos Obter lim (x→−∞) f(x) = 3 ... 1 ponto Concluir que a reta de equação y = 3 é assíntota horizontal do gráfico da função f, quando x→−∞ ... 1 ponto Determinar lim (x→+∞) f(x) ... 6 pontos Escrever lim (x→+∞) f(x) = lim (x→+∞) [ln(x²) + 2] / x ... 1 ponto Escrever lim (x→+∞) [ln(x²) + 2] / x = lim (x→+∞) [2 lnx + 2] / x ... 2 pontos Escrever lim (x→+∞) [2 lnx + 2] / x = 2 lim (x→+∞) lnx / x + lim (x→+∞) 2 / x ... 1 ponto Obter lim (x→+∞) f(x) = 0 ... 2 pontos Concluir que a reta de equação y = 0 é assíntota horizontal do gráfico da função f, quando x→+∞ ... 1 ponto