Programação Linear: Maximização de Pontos (Matemática B 11º Ano, Exame 2020)

A Joana foi para a Serra da Estrela, onde vivem os avós, com o objetivo de consolidar o treino para uma competição regional de ginástica rítmica, nas especialidades de Bola e de Fita.
Admita que, nesta competição, o desempenho na prova de cada especialidade será classificado de 0 a 20 pontos.
A Joana planeou treinar durante 6 dias, irá dispor, em cada dia, de 9 horas para se dedicar ao treino e pretende obter, em cada uma das provas, 10 ou mais pontos.
Pela experiência da sua treinadora, a Joana admite que, por cada hora de treino para a prova de Bola, obterá 0,8 pontos na respetiva prova e que, por cada hora de treino para a prova de Fita, obterá 0,5 pontos na respetiva prova.
Quantas horas a Joana deverá treinar para a prova de Bola e quantas horas a Joana deverá treinar para a prova de Fita, durante os 6 dias, de modo que, nas condições referidas, seja máxima a soma dos pontos obtidos nas classificações das respetivas provas? Na sua resposta, designe por x o número total de horas que a Joana deve treinar para a prova de Bola, e designe por y o número total de horas que a Joana deve treinar para a prova de Fita, durante os 6 dias, e apresente:
– a função objetivo; – as restrições do problema; – uma representação gráfica referente ao sistema de restrições; – o valor de x e o valor de y correspondentes à solução do problema.

Identificar a função objetivo ($L(x, y) = 0,8x + 0,5y$) 1 ponto Identificar as restrições $x \ge 0$ e $y \ge 0$ 1 ponto Identificar as restrições ($x + y \le 54$, $0,8x \ge 10$, $0,5y \ge 10$, $0,8x \le 20$ e $0,5y \le 20$) ... ($5\times 1$) ... 5 pontos Representar graficamente a região admissível 5 pontos Representar graficamente as retas de equações $x + y = 54$, $0,8x = 10$, $0,5y = 10$, $0,8x = 20$ e $0,5y = 20$ 3 pontos Assinalar o polígono 2 pontos Obter as coordenadas $(12,5; 20)$, $(25; 20)$ e $(12,5; 40)$ 1 ponto Obter as coordenadas $(25; 29)$ e $(14; 40)$ 2 pontos Calcular a soma dos pontos correspondente aos vértices do polígono (ou implementar o método da paralela à reta de nível zero) (ver nota) 2 pontos Apresentar os valores pedidos ($25$ horas para a prova de Bola e $29$ horas para a prova de Fita) 1 ponto Nota - No caso de ser implementado o método da paralela à reta de nível zero, se apenas for representada, corretamente, esta reta, a pontuação a atribuir a esta etapa é 1 ponto. Caso seja apenas calculada a soma correspondente aos vértices de coordenadas $(25; 29)$ e $(14; 40)$, a pontuação a atribuir a esta etapa não deve ser desvalorizada.