Programação Linear: Lucro Máximo (Matemática B 11º Ano, Exame 2021)

No quintal que tem junto à sua casa, na zona de Leça da Palmeira, o António vai cultivar cogumelos e espargos para vender no mercado municipal de Matosinhos.
O António admite que o lucro que obterá por cada quilograma de cogumelos que cultivar é 3 euros e que o lucro que obterá por cada quilograma de espargos que cultivar é 4 euros.
Dadas as características do terreno, o cultivo destes dois produtos obedece às seguintes condições:

• a quantidade a cultivar de cada um dos produtos não pode exceder o dobro da quantidade a cultivar do outro produto;

• a quantidade total a cultivar destes dois produtos não pode exceder 9 quilogramas.
Determine a quantidade a cultivar de cada um dos produtos, de modo que, de acordo com as condições, o lucro total obtido com o cultivo dos mesmos seja máximo.
Na sua resposta, designe por x a quantidade, em quilogramas, de cogumelos a cultivar e designe por y a quantidade, em quilogramas, de espargos a cultivar, e apresente:
– a função objetivo;
– as restrições do problema;
– uma representação gráfica referente ao sistema de restrições;
– o valor de x e o valor de y correspondentes à solução do problema.

Identificar a função objetivo (L(x, y) = 3x + 4y) 2 pontos Identificar as restrições (x≤2y, y≤2x,x+y≤9,x≥0 e y≥0) ................ (5×1) 5 pontos Representar graficamente a região admissível 7 pontos Representar graficamente as retas de equações x = 2y , y = 2x e x + y = 9 3 pontos Assinalar o polígono 4 pontos Obter as coordenadas dos vértices do polígono, exceto a origem ((3, 6) e (6, 3)) (2×1) 2 pontos Calcular o lucro correspondente a cada um dos vértices do polígono, exceto a origem (ou implementar o método da paralela à reta de nível zero) (ver nota).. (2×1) 2 pontos Apresentar os valores pedidos 2 pontos (3 quilogramas de cogumelos e 6 quilogramas de espargos) Nota - No caso de ser implementado o método da paralela à reta de nível zero, se apenas for representada, corretamente, esta reta, a pontuação a atribuir a esta etapa é 1 ponto.