O António, quando se desloca ao mercado municipal de Matosinhos para vender os seus produtos agrícolas, utiliza a ponte móvel entre Leça da Palmeira e Matosinhos, no porto de Leixões.
A Figura 1 é uma fotografia dessa ponte.
A ponte tem dois tabuleiros, geometricamente iguais, com apoios nas margens do rio Leça, que se movem, permitindo a passagem de barcos.
A Figura 2, que não está à escala, esquematiza a situação.
Considere o tabuleiro móvel situado na margem norte, representado por $[RP]$ na Figura 3.
Nesta figura, que não está à escala:
• o ponto $Omega$ situa-se na estrada de acesso à ponte, na margem norte;
• o ponto $O$ é o ponto que pertence à estrada e ao tabuleiro móvel, e representa um dos apoios;
• os pontos $P$ e $R$ acompanham o movimento do tabuleiro, enquanto o ponto $Omega$ se mantém fixo.
Seja $alpha$ a amplitude, em graus, do ângulo $widehat{Omega OP}$.
Admita que, para cada valor de $alpha$, a altura, $h$, em metros, do ponto $P$ em relação ao nível da superfície da água, considerando o nível médio do mar, é dada por
$$h(alpha) = 46 operatorname{sen}(alpha) + 10,7$$ com $90^circ le alpha le 180^circ$
O argumento da função seno está em graus.
Determine o valor de $alpha$ para o qual a altura do ponto $P$ em relação ao nível da superfície da água é igual a 25 metros.
Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.
Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.
Equacionar o problema (h(a) = 25 ou equivalente)
4 pontos
Resolver a equação anterior
11 pontos
Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, dois processos.
1.º Processo
Representar graficamente a função h (ver notas 1 e 2)
5 pontos
Representar graficamente a reta de equação y = 25 (ver nota 1) 2 pontos
Assinalar o ponto de intersecção dos gráficos
2 pontos
Obter a abcissa desse ponto
2 pontos
2.º Processo
Isolar sen(a)
3 pontos
Obter a amplitude do ângulo agudo que é solução da equação
4 pontos
Obter o valor de a
4 pontos
Apresentar o valor pedido (162°)
1 ponto
Notas:
1. Se não for representado o referencial, a soma das pontuações a atribuir a
a estes passos é desvalorizada em 1 ponto.
2. Se não for respeitado o domínio, a pontuação a atribuir a este passo é desvalorizada
em 1 ponto.