Matemática 835 (11.º Ano): Medidas de Localização e Outliers (Exame 2009)

As despesas de um agregado familiar com a alimentação dependem de muitos factores.
Do ponto de vista sociológico, pode ser estudada a relação entre as despesas mensais com a alimentação e o rendimento mensal.
Para conhecer esta relação, recolheram-se, aleatoriamente, os dados relativos a doze agregados familiares.
Obtiveram-se os dados representados no diagrama de dispersão e constantes da tabela.

Agregado familiar	Rendimento mensal (€) x	Despesas com a alimentação (€) y
A	1250	425
B	2800	600
C	1900	550
D	1650	425
E	1300	400
F	1800	575
G	1200	375
H	2500	600
I	1350	375
J	2100	550
K	1200	350
L	1500	400

Considere, agora, apenas os dados relativos ao rendimento mensal dos doze agregados familiares analisados no estudo.
O António pertence ao agregado familiar indicado na tabela pela letra B.
Suponha que o rendimento mensal do agregado familiar do António se alterou, passando a ser de €8000.
Suponha ainda que os rendimentos mensais dos outros agregados familiares indicados na tabela não se alteraram.
Num pequeno texto, comente a afirmação seguinte, tomando como exemplo os dados relativos ao rendimento mensal dos doze agregados familiares, antes e após a alteração do rendimento mensal do agregado familiar do António:
«Ao reduzir-se a informação relativa a um conjunto de dados, sob a forma de algumas medidas de localização, está a proceder-se a uma redução drástica dos dados, pelo que as medidas consideradas devem ser convenientemente escolhidas, de modo a representarem o melhor possível os dados que pretendem resumir.
»

No seu texto deve incluir:

• os valores da média e da mediana do rendimento mensal dos doze agregados familiares, antes da alteração do rendimento mensal do agregado familiar do António;

• os valores da média e da mediana do rendimento mensal dos doze agregados familiares, após a alteração do rendimento mensal do agregado familiar do António;

• a indicação das medidas de localização que melhor representam os dados, antes e após a alteração do rendimento mensal do agregado familiar do António.

Apresenta-se em seguida um exemplo de resposta: Antes da alteração do rendimento do agregado familiar do António, os valores da média e da mediana do rendimento mensal dos doze agregados familiares são, respectivamente, em euros, \bar{x} = 1712,5 e M_e = 1575 . Após a alteração do rendimento do agregado familiar do António, os valores da média e da mediana do rendimento mensal dos doze agregados familiares são, respectivamente, em euros, \bar{x} \approx 2145,83 e M_e = 1575 . As medidas de localização que representam o melhor possível os dados, antes da alteração do rendimento do agregado familiar do António, são a média e a mediana. No entanto, a média é uma medida de localização muito sensível a variações, pelo que, após a alteração do rendimento do agregado familiar do António, a média dos rendimentos mensais ficou muito elevada, deixando de constituir uma boa representação dos dados da tabela. Tal como o exemplo ilustra, para que a resposta a esta questão possa ser considerada correcta e completa, deve estar de acordo com os seguintes pontos: 1. indicar os valores da média e da mediana do rendimento mensal dos doze agregados familiares, antes da alteração do rendimento do agregado familiar do António (ver nota); 2. indicar os valores da média e da mediana do rendimento mensal dos doze agregados familiares, após a alteração do rendimento do agregado familiar do António (ver nota); 3. indicar as medidas de localização que representam o melhor possível os dados, antes e após a alteração do rendimento do agregado familiar do António, em virtude da fragilidade da média relativamente ao aumento de um valor. A classificação faz-se de acordo com os níveis de desempenho a seguir descritos.

Descritores do nível de desempenho no domínio específico da disciplina	Descritores do nível de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa Níveis*
Níveis	1	2	3
3	Apresentar correctamente três pontos.	22	23	25
2	Apresentar correctamente dois pontos.	14	15	17
1	Apresentar correctamente um ponto.	6	7	9

* Descritores apresentados no primeiro quadro constante dos Critérios Gerais de Classificação da prova. Nota: Esta questão pode ser resolvida analiticamente ou utilizando a calculadora.