Funções Logarítmicas: Cálculo de Quantidade de Substância (Matemática B 11.º Ano 2012)

Um doente esteve internado numa certa unidade hospitalar.
1.
Na preparação de um medicamento para administrar ao doente, foram misturadas algumas substâncias.
Uma das substâncias, pelas suas características, demorou algum tempo a ser despejada de um recipiente para uma tina.
Admita que a quantidade Q, em centilitros, da substância existente no recipiente, t minutos após o recipiente ter começado a ser esvaziado até ao momento em que ficou vazio, é dada por
Q(t) = 3 - log₂(t + 1)
Determine a quantidade de substância existente no recipiente no momento em que t foi igual a metade do tempo que este demorou a ficar vazio.
Apresente o resultado em centilitros, arredondado às décimas.
Se efetuar cálculos intermédios, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Identificar o tempo que o recipiente demorou a ficar vazio como sendo o zero de Q 3 pontos Representar graficamente a função Q 7 pontos Transformar log₂(t + 1) em log (t + 1) / log 2 ou em ln (t + 1) / ln 2 (ver nota 1) 3 pontos Respeitar a forma logarítmica do gráfico 1 ponto Representar a função no intervalo [0, a], em que a é o zero de Q... 3 pontos Obter o zero de Q (7) 3 pontos Obter metade do tempo que o recipiente demorou a ficar vazio (3,5). 2 pontos Assinalar o ponto do gráfico de Q de abcissa 3,5 1 ponto Obter a ordenada desse ponto (0,830...) 3 pontos Apresentar o valor pedido (0,8) 1 ponto 2.° Processo Identificar o tempo que o recipiente demorou a ficar vazio como sendo o zero de Q 3 pontos Determinar o zero de Q 7 pontos Escrever 3 - log₂(t + 1) = 0 1 ponto Obter log₂(t + 1) = 3 1 ponto Obter 2³ = t + 1 4 pontos Obter t = 7 1 ponto Obter metade do tempo que o recipiente demorou a ficar vazio (3,5) 2 pontos Calcular Q(3,5) 7 pontos Escrever 3 - log₂(3,5 + 1) 1 ponto Escrever 3 - log (3,5 + 1) / log 2 ou 3 - ln (3,5 + 1) / ln 2 (ver nota 2) 3 pontos Obter 3 - 2,169... 2 pontos Obter 0,830... 1 ponto Apresentar o valor pedido (0,8) 1 ponto Notas: 1. Caso o examinando não apresente a mudança de base de logaritmo, mas represente inequivocamente a função Q, a pontuação deste passo deverá ser atribuída. 2. Caso o examinando não apresente a mudança de base de logaritmo, mas obtenha o valor 2,169..., a pontuação deste passo deverá ser atribuída.