Exame Nacional Matemática A (635) 2014 — Pergunta 4.1 (12º Ano)

Pergunta (4.1)

Considere as funções f e g, de domínio ]−∞, 0[, definidas por f(x) = x − 1 + ln(-x)/x e g(x) = −x + f(x) Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico e, caso existam, indique as suas equações.

Critério de Classificação

Estudar a existência de assíntotas verticais do gráfico da função f (6 pontos).

Determinar $\lim_{x\to 0^-} f(x)$	4 pontos
Escrever $\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} (x-1+\frac{\ln(-x)}{x})$	1 ponto
Obter o valor de $\lim_{x\to 0^-} \frac{\ln(-x)}{x}$	2 pontos
Obter o valor de $\lim_{x\to 0^-} f(x)$	1 ponto
Indicar uma equação da assíntota vertical do gráfico da função f..	1 ponto
Concluir que, por f ser contínua em ]$-\infty, 0[$, o gráfico da função f não admite outras assíntotas verticais	1 ponto

Estudar a existência de assíntota não vertical do gráfico da função f (14 pontos).

Determinar $\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}$	7 pontos
Escrever $\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to -\infty} (1 - \frac{1}{x} + \frac{\ln(-x)}{x^2})$ (ou equivalente)	1 ponto
Determinar o valor de $\lim_{x\to -\infty} \frac{\ln(-x)}{x^2}$	4 pontos
Escrever $\lim_{x\to -\infty} \frac{\ln(-x)}{x^2} = \lim_{y\to +\infty} (\frac{\ln(y)}{y^2})$ (ver nota)	2 pontos
Escrever $\lim_{y\to +\infty} (\frac{\ln(y)}{y^2}) = \lim_{y\to +\infty} (\frac{\ln(y)}{y} \times \frac{1}{y})$	1 ponto
Obter o valor de $\lim_{x\to -\infty} \frac{\ln(-x)}{x^2}$	1 ponto
Obter o valor de $m = \lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}$	2 pontos
Determinar $\lim_{x\to -\infty} (f(x)-mx)$	6 pontos
Escrever $\lim_{x\to -\infty} (f(x) - x) = \lim_{x\to -\infty} (-1 + \frac{\ln(-x)}{x})$ (ou equivalente)	1 ponto
Determinar $\lim_{x\to -\infty} \frac{\ln(-x)}{x}$	3 pontos
Escrever $\lim_{x\to -\infty} \frac{\ln(-x)}{x} = \lim_{y\to +\infty} \frac{-\ln(y)}{y}$ (ver nota)	2 pontos
Obter o valor de $\lim_{x\to -\infty} \frac{\ln(-x)}{x}$	1 ponto
Obter o valor de $b = \lim_{x\to -\infty} (f(x)-mx)$	2 pontos
Indicar uma equação da assíntota não vertical do gráfico da função f quando $x\to -\infty$	1 ponto

Nota — Se, na resposta, for referido que $x\to -\infty$ é equivalente a $-x \to +\infty$, esta etapa deve ser considerada como cumprida.

Matéria Associada

Limites de funções; Assíntotas de funções; Funções logarítmicas

Resumo Pedagógico

Treina a determinação analítica de assíntotas verticais e oblíquas/horizontais para uma função com logaritmo, utilizando limites.

Assíntotas da Função f: Exame Matemática A 12º Ano 2014 (2ª Fase)

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