Teorema de Bolzano: Prova de Existência de Solução (Matemática A 12º Ano 2014)

Considere as funções f e g, de domínio ]−∞, 0[, definidas por f(x) = x − 1 + ln(-x)/x e g(x) = −x + f(x) Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Mostre que a condição f(x) = -e tem, pelo menos, uma solução em ]-e, -1[

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo

Referir que a função $f$ é contínua em $[-e, -1]$ (ver notas 1 e 2)	2 pontos
Calcular $f(-e)$	2 pontos
Calcular $f(-1)$	1 ponto
Escrever $f(-e) < -e < f(-1)$ (ou equivalente)	2 pontos
Referir que o pretendido resulta da aplicação do teorema de Bolzano	3 pontos

2.º Processo

Referir que $f(x) = -e$ é equivalente a $f(x)+e = 0$	1 ponto
Referir que, em $[-e, -1]$, a função $h$, definida por $h(x)=f(x) + e$, é contínua (ver notas 1 e 2)	2 pontos
Calcular $h(-e)$	2 pontos
Calcular $h(-1)$	1 ponto
Escrever $h(-e) \times h(-1) < 0$ (ou equivalente)	1 ponto
Concluir que a função $h$ tem, pelo menos, um zero em $]-e, -1[$ (ver nota 3)	2 pontos
Concluir o pretendido (ver nota 4)	1 ponto

Notas: 1. Se, na resposta, for referido que a função é contínua, esta etapa deve ser considerada como cumprida. 2. Se, na resposta, for referido que a função é contínua em $]-e, -1[$, a pontuação a atribuir nesta etapa é zero pontos. 3. Se, na resposta, não for referido que a conclusão resulta da aplicação do teorema de Bolzano, a pontuação a atribuir nesta etapa é zero pontos. 4. A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se a etapa anterior não tiver sido pontuada com zero pontos.