Análise de Monotonia e Extremos: Função g (Matemática A 12º Ano 2014)

Considere as funções f e g, de domínio ]−∞, 0[, definidas por f(x) = x − 1 + ln(-x)/x e g(x) = −x + f(x) Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.
Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) de monotonia e, caso existam, os valores de x para os quais a função g tem extremos relativos.

Determinar $g'(x)$	5 pontos
Calcular $(-1)'$	1 ponto
Calcular $(\frac{\ln(-x)}{x})'$	3 pontos
Obter $g'(x)$	1 ponto
Determinar os zeros de $g'$ (ver nota 1)	3 pontos
Estudar a função $g$ quanto à monotonia	6 pontos
Concluir que $g'$ é negativa em $]-\infty, -e[$	1 ponto
Concluir que $g'$ é positiva em $]-e, 0[$	1 ponto
Referir que $g$ é decrescente em $]-\infty, -e]$ (ver nota 2)	2 pontos
Referir que $g$ é crescente em $[-e, 0[$ (ver nota 3)	2 pontos
Indicar o valor de $x$ para o qual a função $g$ tem extremo relativo	1 ponto

Notas: 1. Se, na resposta, não forem determinados os zeros de $g'$ mas se for apresentada a conclusão de que $g'$ é negativa em $]-\infty, -e[$ e de que $g'$ é positiva em $]-e, 0[$, esta etapa deve ser considerada como cumprida. 2. Se, na resposta, for referido que $g$ é decrescente em $]-\infty, -e[$, em vez de em $]-\infty, -e]$, esta etapa deve ser considerada como cumprida. 3. Se, na resposta, for referido que $g$ é crescente em $]-e, 0[$, em vez de em $[-e, 0[$, esta etapa deve ser considerada como cumprida.