Exame Matemática B 11.º Ano 2017: Modelagem Trigonométrica (Roda de Bicicleta)

Na Figura 1, está representada a roda da frente da bicicleta do Vicente, na qual foi instalado um refletor.
O Vicente pedala numa estrada sem curvas e mantendo uma velocidade constante.
Num certo instante, inicia-se a contagem do tempo.
Sabe-se que, t segundos após esse instante, a distância do refletor ao solo é dada, em centímetros, por d(t) = 20 + a cos(bt), com t≥0 em que a∈R e b∈[0,12].
O argumento da função cosseno está em radianos.
Sabe-se que, no instante inicial, a distância do refletor ao solo é 30 cm e que, 0,15 segundos após esse instante, essa distância passou a ser 20 cm.
Determine o valor de a e o valor de b.
Apresente o valor de b arredondado às décimas.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Calcular o valor de a .......................................................................................... 5 pontos Identificar 30 com d(0) .............................................................................. 2 pontos Escrever 20 + a cos 0 = 30 ........................................................................ 1 ponto Concluir que a = 10 .................................................................................... 2 pontos Calcular o valor de b ......................................................................................... 14 pontos Identificar 20 com d(0,15) ........................................................................... 2 pontos Escrever 20 + 10 cos (0,15b) = 20 .............................................................. 1 ponto Resolver a equação 20 + 10 cos (0,15b) = 20............................................... 11 pontos Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, três processos. 1.º Processo Representar graficamente a função definida por y = 20 + 10 cos (0,15x) ...................................................................... 6 pontos Respeitar o domínio ..................................................................... 3 pontos Respeitar a forma do gráfico .......................................................... 3 pontos Representar graficamente a reta de equação y = 20 ........................ 1 ponto Assinalar o ponto de intersecção da reta com o gráfico da função ...................................................................................... 2 pontos Obter a abcissa desse ponto (10,4719...) ......................................... 2 pontos 2.º Processo Obter a equação cos (0,15b) = 0 ..................................................... 2 pontos Representar graficamente a função definida por y = cos (0,15x) ................................................................................. 6 pontos Respeitar o domínio ..................................................................... 3 pontos Respeitar a forma do gráfico .......................................................... 3 pontos Assinalar o ponto do gráfico cuja ordenada é nula ........................... 1 ponto Obter a abcissa desse ponto (10,4719...) ......................................... 2 pontos 3.º Processo Obter a equação cos (0,15b) = 0 ..................................................... 2 pontos Obter 0,15b = π/2 + kπ, k ∈ Z ......................................................... 5 pontos Obter b = π/0,3 + kπ/0,15, k ∈ Z ...................................................... 2 pontos Obter o valor de b que pertence ao intervalo [0,12] (10,4719...) ................................................................................... 2 pontos Apresentar o valor pedido (10,5) .................................................................................. 1 ponto