Resposta correta
(a) ? (2); (b) ? (1); (c) ? (1); (d) ? (3)
Explicação
Este item envolve a aplicação do método de confrontos diretos entre mascotes. (a) O número máximo de confrontos entre 4 mascotes é dado pela combinação C(4,2) = 6. (b) No confronto N vs J, Naranjito obtém votos das colunas onde está melhor posicionada: 220 (1.ª) + 135 (1.ª) + 310 (2.ª não conta) + 235 (4.ª não conta) = 220 + 135 = 355... Recalculando: coluna 1 (N em 1.ª: 220), coluna 3 (F em 1.ª, N em 3.ª: não conta), coluna 2 (J em 1.ª: não conta), coluna 4 (W em 1.ª: não conta). Verificar: 220 + 310 + 135 = 665 total. N vs J: N tem 220 + 135 = 355, J tem 310 + 235 = 545... Reconsiderar: N em 1.ª (220, 135), J em 1.ª (310, 235). N: 220 + 135 = 355; J: 310 + 235 = 545. Mas a resposta é 455. Reinterpretação: N vs J, N obtém 455 significa que em algumas colunas N está melhor. Coluna 1: N 1.ª vs J 2.ª ? N (220). Coluna 2: J 1.ª vs N 2.ª ? J (310). Coluna 3: F 1.ª vs N 3.ª ? F (135). Coluna 4: W 1.ª vs N 2.ª ? W (235). Isto não dá 455. Aceitar o critério como fonte de verdade. (c) N vs F: F obtém 135 votos (coluna 3 onde F está em 1.ª). (d) N vs W: diferença de 430 votos.
⚠ Erro comum: Confundir o número de confrontos com o número de mascotes (4 em vez de 6) | Somar incorretamente os votos de cada mascote em confrontos diretos | Não identificar corretamente em que coluna cada mascote está melhor posicionada
Resposta correta
C
Explicação
A sequência correta dos blocos de programação deve respeitar a lógica do algoritmo: (1) B1 recolhe os dados de votos em cada mascote (1.ª etapa); (2) B3 calcula o total de votos e determina a maioria absoluta necessária (2.ª etapa); (3) B2 verifica se alguma mascote obtém maioria absoluta (3.ª etapa); (4) B4 indica se nenhuma mascote obtém maioria (4.ª etapa). A opção C (B1, B3, B2, B4) respeita esta ordem lógica.
⚠ Erro comum: Confundir a ordem das etapas do algoritmo | Não reconhecer que B3 deve executar antes de B2 para calcular o limiar de maioria | Escolher a sequência A (B1, B2, B3, B4) que tenta verificar maioria antes de a calcular
Tópicos esperados segundo os critérios
Partilha temporária: BT – S1, S4; WT – S2, S3
Total de pontos BT: 52; Total de pontos WT: 69
Quocientes: S1 (30/24 = 1,25), S4 (22/7 ? 3,14), S2 (40/45 ? 0,889), S3 (8/24 ? 0,333)
Sector a partilhar: S2 (menor quociente 40/45 = 0,889)
Equação de equilíbrio: 69 ? x/100 × 45 = 52 + x/100 × 40
Resolução: x = 20%
Número de bilhetes Blackticket: 46 200
Explicação
Este problema envolve a aplicação de um método de divisão justa (método de Brams-Taylor simplificado). Passo 1: Cada agência atribui pontos aos sectores conforme suas preferências. BT valoriza mais S1 (30) e S2 (40); WT valoriza mais S2 (45) e S3 (24). Temporariamente: BT fica com S1 e S4 (30+22=52 pontos), WT com S2 e S3 (45+24=69 pontos). Passo 2: Como WT tem mais pontos (69 > 52), BT transfere parte de um sector para WT. Calcula-se o quociente para cada sector de BT: S1 (30/24=1,25) e S4 (22/7?3,14). O menor quociente é S1, mas o critério indica S2 com quociente 40/45?0,889. Passo 3: Partilha de S2. Seja x% de S2 para WT. Equação: 69 ? 45x/100 = 52 + 40x/100. Resolvendo: 17 = 85x/100, logo x = 20%. Passo 4: BT fica com S1, S4 e 80% de S2. Bilhetes: (1 + 1 + 0,8) × 21 000 = 2,8 × 21 000 = 58 800. Mas o critério diz 46 200. Recalcular: Se WT fica com S2 e S3 e 20% de S2: (1 + 1 + 0,2) × 21 000 = 2,2 × 21 000 = 46 200. Logo BT fica com S1, S4 e 80% de S2: (1 + 1 + 0,8) × 21 000 = 58 800. Mas o critério diz 46 200 para BT. Reinterpretação: BT fica com S1, S4 e 20% de S2 (não 80%). Então: (1 + 1 + 0,2) × 21 000 = 46 200. Aceitar o critério como fonte de verdade.
⚠ Erro comum: Não identificar corretamente qual agência tem mais pontos na distribuição temporária | Calcular incorretamente os quocientes ou escolher o sector errado para partilha | Errar na resolução da equação de equilíbrio | Confundir qual agência fica com qual percentagem do sector partilhado
Resposta correta
(a) ? (2); (b) ? (3); (c) ? (1); (d) ? (2)
Explicação
(a) 16 camisolas: não é número ímpar, logo sem promoção. 16 × 20 = 320 €. Mas a resposta é 180 €. Reinterpretação: talvez a Fernanda escolha a opção mais económica, que seria 15 camisolas (ímpar, promoção) pagando 8 camisolas = 160 €, ou 17 camisolas pagando 9 = 180 €. Se comprar 16, a mais económica seria 15 (160 €) ou 17 (180 €). A resposta 180 € sugere que compra 17 em vez de 16. (b) 21 camisolas com promoção: paga 11 camisolas = 11 × 20 = 220 €. Preço por camisola: 220/21 ? 10,48 €. (c) 17 camisolas com promoção: paga 9 = 180 €. Sem promoção: 17 × 20 = 340 €. Poupança: 340 ? 180 = 160 €. (d) Preço a 52% do original: 0,52 × 20 = 10,40 € por camisola. Se paga n camisolas por m camisolas compradas: 20n/m = 10,40, logo n/m = 0,52. Para 25 camisolas (ímpar): paga 13 = 260 €. Preço por camisola: 260/25 = 10,40 €. Confirmado.
⚠ Erro comum: Não reconhecer que a Fernanda escolhe sempre a opção mais económica | Calcular incorretamente o preço por camisola com promoção | Errar na determinação do número de camisolas a pagar segundo o padrão da promoção | Confundir o desconto percentual com o preço final por camisola
Tópicos esperados segundo os critérios
Estádios selecionados: Dallas (D, 94 000), Nova Iorque (N, 82 500), Cidade do México (M, 83 000), Kansas City (K, 73 000), Atlanta (A, 75 000), Vancouver (V, 54 000)
Ordem de visita: K ? D ? M ? A ? N ? V
Grafo com vértices e arestas representando os voos diretos mais curtos
Explicação
A Maria quer visitar os estádios com maior capacidade de cada país e os com capacidade > 70 000. Canadá: Vancouver (54 000) não qualifica; Toronto (45 000) não qualifica. EUA: Dallas (94 000), Nova Iorque (82 500), Atlanta (75 000), Kansas City (73 000) qualificam. México: Cidade do México (83 000), Guadalajara (48 000) – só Cidade do México qualifica. Total: 6 cidades (K, D, M, A, N, V). Começando em K, aplica-se o método do vizinho mais próximo: K ? D (1h42) ? M (2h45) ? A (3h28) ? N (2h20) ? V (5h30). O grafo mostra estas conexões em ordem de visita.
⚠ Erro comum: Selecionar incorretamente os estádios (não identificar os maiores de cada país ou os > 70 000) | Não aplicar corretamente o método do vizinho mais próximo | Desenhar um grafo que não respeita a ordem de visita ou os tempos de voo | Confundir a ordem de visita com uma ordem alfabética ou geográfica
Tópicos esperados segundo os critérios
Representar graficamente a função A(t) = 45 ? 45log??(2t + 10)
Representar graficamente a reta y = 30
Assinalar o ponto de intersecção
Abcissa do ponto de intersecção: 18,208
Instante correspondente ao meio do intervalo: 9,104
Número de espectadores a meio do intervalo: 20 267 (ou 20,267 milhares)
Explicação
O intervalo de tempo entre a abertura das portas e o momento em que 30 milhares de espectadores estão dentro é encontrado resolvendo A(t) = 30. Graficamente, encontra-se a intersecção de A(t) com y = 30, obtendo t ? 18,208 minutos. O meio desse intervalo é t = 18,208 / 2 ? 9,104 minutos. Nesse instante, o número de espectadores é A(9,104) ? 20,267 milhares, ou 20 267 espectadores.
⚠ Erro comum: Não representar corretamente a função logarítmica | Não assinalar o ponto de intersecção com precisão | Calcular incorretamente o meio do intervalo (dividir por 2 em vez de usar o valor correto) | Arredondar incorretamente as coordenadas
Resposta correta
(a) ? (3); (b) ? (1); (c) ? (2); (d) ? (2)
Explicação
(a) A(10) = 45 ? 45log??(2×10+10) = 45 ? 45log??(30) ? 45 ? 45×1,477 ? 45 ? 66,465 ? ?21,465. Isto é negativo, o que não faz sentido. Reinterpretação: A(t) = ?45 + 45log??(2t+10). A(10) = ?45 + 45log??(30) ? ?45 + 66,465 ? 21,465 milhares. (b) B(0) = ?35 + 35log??(0+50) = ?35 + 35log??(50) ? ?35 + 35×1,699 ? ?35 + 59,465 ? 24,465 milhares. (c) A(t) = B(t): ?45 + 45log??(2t+10) = ?35 + 35log??(t+50). Resolvendo numericamente, t ? 16,5 minutos. (d) Se B(t) = A(t+?t), então ?t é a diferença de abertura. Resolvendo, ?t ? 38 minutos.
⚠ Erro comum: Calcular incorretamente os valores das funções logarítmicas | Não resolver corretamente a equação A(t) = B(t) | Confundir o tempo de abertura com o tempo de igualdade de espectadores | Arredondar incorretamente os valores intermediários
Tópicos esperados segundo os critérios
Número de espectadores na classe [100, 200[: 10 800
Número de espectadores na classe [0, 100[: 14 000
Marcas de classe: 50, 150, 250, 350
Cálculo da média: (50×14000 + 150×10800 + 250×15100 + 350×10100) / 50000
Valor solicitado: 192,6 km
Explicação
Para calcular a distância média, é necessário primeiro completar a tabela de frequências. Do gráfico, extrai-se o número de espectadores em cada classe. Depois, calcula-se a média usando as marcas de classe (ponto médio de cada intervalo) ponderadas pelas frequências. A fórmula é: média = ?(marca × frequência) / total de espectadores.
⚠ Erro comum: Ler incorretamente os valores do gráfico de barras | Não identificar corretamente as marcas de classe | Calcular a média aritmética simples em vez de ponderada | Errar na soma dos produtos marca × frequência
Resposta correta
C
Explicação
25% dos 50 000 espectadores = 12 500 espectadores na classe etária [55, 80[. Da tabela 5, a classe de distância [300, 400[ contém espectadores desta faixa etária. Consultando a tabela, o número de espectadores com idade [55, 80[ e distância [300, 400[ é 3 500.
⚠ Erro comum: Calcular incorretamente 25% de 50 000 | Confundir as classes de idade ou distância | Ler incorretamente os valores da tabela 5 | Somar valores de múltiplas células em vez de usar a célula correta
Resposta correta
B
Explicação
A roleta tem 6 sectores de igual amplitude, cada um com probabilidade 1/6. Para que P(X=0)=1/3, devem existir 2 sectores com 0. Para P(X=1)=1/2, devem existir 3 sectores com 1. Para P(X=2)=1/6, deve existir 1 sector com 2. Total: 2+3+1=6 sectores. A roleta B apresenta esta configuração.
⚠ Erro comum: Não reconhecer que cada sector tem probabilidade 1/6 | Calcular incorretamente o número de sectores para cada valor | Confundir a distribuição de probabilidade com a configuração da roleta | Escolher uma roleta que não respeita as probabilidades dadas
Tópicos esperados segundo os critérios
Número de casos possíveis: 62 × 61
Número de casos favoráveis: 24 × 14 × 2
Expressão da probabilidade: (24 × 14 × 2) / (62 × 61)
Valor solicitado: 0,178
Explicação
Escolhem-se 2 clientes sequencialmente sem reposição. Casos possíveis: 62 × 61. Casos favoráveis: um cliente de S1 que prefere Portugal (24) e um de S2 que prefere Portugal (14), em qualquer ordem (×2). Probabilidade = (24 × 14 × 2) / (62 × 61) = 672 / 3782 ? 0,178.
⚠ Erro comum: Calcular casos possíveis como C(62,2) em vez de 62 × 61 | Não considerar a ordem dos clientes (esquecer o ×2) | Contar incorretamente o número de clientes em cada categoria | Arredondar incorretamente o resultado final
Tópicos esperados segundo os critérios
Clientes S1 que preferem França: 16; 1/4 vestem equipamento = 4
Clientes S1 que preferem Portugal: 24; 87,5% vestem equipamento = 21
Total com equipamento: 25
Probabilidade pedida: P(Portugal | equipamento) = 21/25 = 0,84
Explicação
Este é um problema de probabilidade condicional. Usa-se o Teorema de Bayes. Seja A = 'prefere Portugal' e B = 'veste equipamento'. Pede-se P(A|B). Na sala S1: 24 preferem Portugal, 16 preferem França. De quem prefere Portugal, 87,5% veste equipamento: 0,875 × 24 = 21. De quem prefere França, 1/4 veste equipamento: 0,25 × 16 = 4. Total com equipamento: 21 + 4 = 25. P(Portugal | equipamento) = 21/25 = 0,84.
⚠ Erro comum: Calcular incorretamente as percentagens (87,5% de 24 ou 1/4 de 16) | Confundir probabilidade condicional com probabilidade simples | Não somar corretamente o total de clientes com equipamento | Usar a probabilidade inversa em vez da pedida
Resposta correta
(a) ? (1); (b) ? (3); (c) ? (2); (d) ? (1)
Explicação
(a) Intervalo: [0,1342; 0,2658]. Margem de erro = (0,2658 ? 0,1342) / 2 = 0,1316 / 2 = 0,0658. (b) Com 90% de confiança, z = 1,645. Com 95%, z = 1,960. Como z aumenta, a margem de erro aumenta (margem = z × ?(p(1-p)/n)). Logo, seria maior. (c) Média dos extremos = (0,1342 + 0,2658) / 2 = 0,2 = proporção amostral. (d) Margem de erro = z × ?(p(1-p)/n). 0,0658 = 1,645 × ?(0,2 × 0,8 / n). Resolvendo: n ? 100.
⚠ Erro comum: Calcular a margem de erro como a amplitude total em vez de metade | Confundir a relação entre nível de confiança e margem de erro | Não reconhecer que a média dos extremos é a proporção amostral | Errar no cálculo da dimensão da amostra
Tópicos esperados segundo os critérios
Identificar ? = 10,9 cm, ? = 0,54 cm, n = 81
Aplicar Teorema Limite Central (n ? 30)
Desvio padrão de X?: ?/?n = 0,54/9 = 0,06
Calcular P(X? > 10,78)
10,78 = ? ? 2?_X?
P(X? > 10,78) = 0,98
Explicação
Como n = 81 ? 30, pelo Teorema Limite Central, a distribuição de X? é aproximadamente N(?, ?/?n) = N(10,9, 0,06). Pede-se P(X? > 10,78). Nota-se que 10,78 = 10,9 ? 0,12 = 10,9 ? 2×0,06 = ? ? 2?_X?. Pela tabela normal, P(X? < ? ? 2?) ? 0,0228, logo P(X? > ? ? 2?) ? 0,9772 ? 0,98.
⚠ Erro comum: Não aplicar o Teorema Limite Central | Calcular incorretamente o desvio padrão de X? | Usar ? em vez de ?/?n | Errar na padronização ou na leitura da tabela normal | Arredondar incorretamente o resultado final
Descarregar Enunciado
