Correção Exame Matemática A (635) 12º Ano 2026

O João tem 8 livros distintos, sendo 4 policiais que devem ser lidos seguidos. Tratamos os 4 policiais como um bloco único. Assim, temos 5 unidades para organizar (o bloco de policiais + 4 outros livros), o que dá 5! arranjos. Dentro do bloco, os 4 policiais podem ser organizados de 4! formas. Os 4 livros não-policiais podem ser organizados de 4! formas. Total: 5 × 4! × 4!.

⚠ Erro comum: Confundir o número de unidades a organizar (5, não 4) ou esquecer que os livros não-policiais também podem ser permutados entre si.

Para averiguar continuidade em x = 3, é necessário verificar se lim f(x) (x?3?) = lim f(x) (x?3?) = f(3). Calcula-se cada limite usando a expressão correspondente ao ramo. Se alguma igualdade falhar, a função não é contínua. Os critérios especificam etapas para determinar cada limite e comparar.

⚠ Erro comum: Calcular apenas um dos limites laterais ou f(3), sem comparar todos os três valores. Erros algébricos ao simplificar limites com exponenciais ou frações.

Estudo de monotonia: calcular a derivada, encontrar os seus zeros, construir um quadro de sinal, deduzir os intervalos onde f é crescente/decrescente, e identificar extremos relativos (máximos e mínimos locais). O intervalo de estudo é [-3, 3].

⚠ Erro comum: Erros ao derivar (especialmente com exponenciais); não encontrar todos os zeros de f'; omitir o quadro de sinal; não indicar claramente os intervalos de monotonia ou os extremos.

⚠ Aviso IA: Nota dos critérios: Se for apresentado intervalo [-3, 0[ em vez de [-3, 0] e intervalo ]0, 3] em vez de [0, 3], a etapa deve ser considerada cumprida.

Demonstração de existência: reformular o problema como f(x) = -x, ou equivalentemente h(x) = f(x) + x = 0. Verificar que h é contínua no intervalo [-1, 0], calcular h nos extremos, confirmar que têm sinais opostos, e concluir pelo Teorema de Bolzano-Cauchy que existe pelo menos uma raiz.

⚠ Erro comum: Não equacionar corretamente o problema; não verificar continuidade; calcular mal os valores de h nos extremos; não aplicar explicitamente o teorema.

⚠ Aviso IA: Nota dos critérios: Se apenas for referido que h é contínua no intervalo [-3, 3], a etapa deve ser considerada cumprida. Se for referido que h é contínua em [-1, 0] (intervalo aberto), a pontuação é 0 pontos.

Cálculo de média, quartis, coeficiente de correlação e previsão por regressão linear. A média de TMB é 1374 kcal/dia. Existem 4 mulheres com IMC no intervalo [Q?, Q?]. O coeficiente de correlação entre as duas tabelas é igual (ambas têm r² = 0,887). A previsão para 43 anos é y = 9,02 × 43 + 1777,62 ? 1379 kcal/dia.

⚠ Erro comum: Erros no cálculo da média; confundir quartis ou contar mal as mulheres no intervalo; não reconhecer que r é igual em ambos os casos; erros na aplicação da reta de regressão.

A reta DH tem vetor diretor (1, 3, 0). Um plano perpendicular a esta reta tem equação da forma 1·x + 3·y + 0·z = d. Passa no ponto G(6, 9, 0), logo 1·6 + 3·9 + 0·0 = d, ou seja d = 33. A equação é x + 3y = 33, ou x + 3y - 33 = 0. Reescrevendo: x - 3y + 33 = 0 não corresponde. Verificar: a opção (B) é x - 3y + 33 = 0, que não é a forma esperada. Revisar: a forma correta seria x + 3y - 33 = 0, mas esta não está nas opções. A opção (B) x - 3y + 33 = 0 pode ser reescrita como x + 33 = 3y, ou x - 3y = -33. Verificar com G(6, 9, 0): 6 - 3·9 = 6 - 27 = -21 ? -33. Não corresponde. Revisar a chave oficial.

⚠ Erro comum: Confundir o vetor normal do plano com o vetor diretor da reta; erros ao substituir o ponto G na equação do plano.

Superfície esférica: centro em A, passa em F. Encontrar A (ponto de intersecção de reta com plano ou eixo), calcular a distância AF (raio), escrever a equação (x - c?)² + (y - c?)² + (z - c?)² = r².

⚠ Erro comum: Erros ao determinar as coordenadas de A; calcular mal a distância; esquecer de elevar ao quadrado o raio na equação.

Para 5.(AE2018): Sucessão monótona decrescente. Testar cada opção: (A) n² - 4n não é monótona; (B) 2n + 3 é crescente; (C) (2/3)? é decrescente (base < 1); (D) (3/2)? é crescente. Resposta: (C). Para 5.(AE2023): Progressão geométrica com soma finita. Precisa razão |r| < 1. (C) (2/3)? tem razão 2/3 < 1. Resposta: (C).

⚠ Erro comum: Confundir crescente com decrescente; não reconhecer que progressão geométrica com soma finita precisa |r| < 1; erros ao testar cada opção.

⚠ Aviso IA: Este item tem duas versões (AE2018 e AE2023). O aluno responde apenas a uma. A chave é (C) em ambas as versões.

Combinatória com restrição: 5 pares em 10 compartimentos. Casos favoráveis: pares brancos e pretos adjacentes (mesma linha ou coluna). Três processos possíveis conforme se contam arranjos de todos os pares, apenas dos dois pares especiais, ou apenas compartimentos.

⚠ Erro comum: Não identificar corretamente os compartimentos adjacentes; erros ao contar casos favoráveis; não usar a fórmula de probabilidade corretamente.

⚠ Aviso IA: Nota dos critérios: Se a expressão apresentada não for equivalente à referida, a pontuação é 0 pontos. Se ambas as subetapas de contagem tiverem 0 pontos, a subetapa de casos favoráveis é 0 pontos. Se casos favoráveis ou possíveis forem 0 pontos, ou se o resultado não pertencer a [0, 1], a etapa final é 0 pontos.

Probabilidade condicional: usar a definição P(A|B) = P(A ? B) / P(B). Organizar os dados em tabela ou árvore, calcular as probabilidades necessárias, aplicar a fórmula.

⚠ Erro comum: Confundir P(V|S) com P(S|V); erros ao calcular P(S ? V) ou P(V); não aplicar corretamente a fórmula de probabilidade condicional.

Geometria analítica com trigonometria: usar a circunferência unitária, identificar coordenadas dos pontos em função do ângulo a, calcular comprimentos e áreas usando fórmulas trigonométricas.

⚠ Erro comum: Erros ao identificar coordenadas dos pontos; confundir seno com cosseno; erros ao calcular a altura ou base do triângulo.

9.(AE2018): Identidade trigonométrica — expandir, simplificar usando identidades fundamentais. 9.(AE2023): Método da bissecção — dividir intervalo sucessivamente, avaliar função nos pontos médios, refinar até erro < 0,1.

⚠ Erro comum: 9.(AE2018): Erros ao expandir ou simplificar identidades. 9.(AE2023): Erros aritméticos; não respeitar o número de casas decimais; não verificar que erro < 0,1.

⚠ Aviso IA: Este item tem duas versões (AE2018 e AE2023). O aluno responde apenas a uma. Nota: Se forem apresentadas respostas aos dois itens, classifica-se apenas a primeira resposta.

Se z = e^(i?) com ? ? ]0, ?/6[, então z² = e^(i2?) com 2? ? ]0, ?/3[. O afixo de z² está no primeiro quadrante com argumento entre 0 e ?/3. Identificar qual ponto corresponde a este intervalo.

⚠ Erro comum: Confundir o argumento de z com o de z²; não multiplicar corretamente o argumento; confundir quadrantes.

Números complexos: simplificar i³? = i, calcular (-?3 + i) / (2e^(i5?/6)), obter forma trigonométrica, resolver z² = w usando fórmula de raízes, converter para forma algébrica.

⚠ Erro comum: Erros ao simplificar i³?; erros ao converter para forma trigonométrica; não aplicar corretamente a fórmula de raízes; erros ao converter de volta para forma algébrica.

Problema de otimização financeira: capital inicial 12500, objetivo 15000 (acréscimo 20%). Usar calculadora gráfica para resolver a equação C(j) = 15000, onde C(j) é a fórmula dada. Representar graficamente, identificar intersecção, ler valor de j.

⚠ Erro comum: Não equacionar corretamente o problema; não representar corretamente os gráficos; não assinalar o ponto relevante; erros ao ler o valor da calculadora.

⚠ Aviso IA: Notas dos critérios: Se não for apresentada equação, a pontuação é 0 pontos. Se não for apresentado referencial, a pontuação é desvalorizada em 1 ponto. Se não for respeitado o domínio, a pontuação é desvalorizada em 1 ponto.

13.(AE2018): Usar propriedades do Triângulo de Pascal e as condições dadas para encontrar a linha. 13.(AE2023): Calcular pontuações com o método descrito, mostrar que mesmo com os 50 votos restantes, B não ultrapassa A.

⚠ Erro comum: 13.(AE2018): Erros ao usar propriedades do Triângulo de Pascal. 13.(AE2023): Não calcular corretamente as pontuações; não considerar o cenário mais favorável para B.

⚠ Aviso IA: Este item tem duas versões (AE2018 e AE2023). O aluno responde apenas a uma. Nota: Se forem apresentadas respostas aos dois itens, classifica-se apenas a primeira resposta.

Justificar falsidade de duas proposições sobre extremos e concavidade de função. Usar informações do gráfico de f' (zeros, monotonia, sinal). Proposição I: f tem no máximo 2 extremos (não 3) porque f' tem 3 zeros mas f'(3) não muda de sinal. Proposição II: Concavidade voltada para cima em [3, +?[ porque f' é crescente (f'' > 0).

⚠ Erro comum: Não justificar completamente; confundir extremos com zeros de f'; não usar corretamente informações do gráfico de f'.

Geometria analítica: encontrar intersecções da parábola com reta horizontal, identificar vértice, determinar circuncentro do triângulo formado pelos três pontos, calcular raio.

⚠ Erro comum: Erros ao resolver f(x) = a; não identificar corretamente o vértice; erros ao calcular o circuncentro; não simplificar corretamente a expressão do raio.